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How to understand Paradigm's power perpetual contract

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This paper analyzes in detail how the Shengfang perpetual contract simulates the risk exposure of the traditional option and its advantages over the traditional option products.

Paradigm, a top investment firm, last week published a paper on a new type of financial derivative called the "Power perpetual contract". As soon as the paper was published, it triggered a wide discussion within the core community of blockchain users.

So are power-on perpetual contracts a new class of derivatives or merely improvements on existing ones? Is it closer to an options-like derivative, or is it more like the perpetual contract we are familiar with. This paper will try to analyze the significance and value of this new derivative product for readers by using as simple language as possible.(Note: This article assumes that the reader already knows the basics of futures, options and perpetual contracts, so there is no space to cover the basics of derivatives.)

Of course, readers who wish to further understand the "power of perpetual contract" are advised to read it directlyThe original paperOr reproduced by rhythmChinese translation，以及文章中引用的参考链接。

线性函数与凸函数

目前所有的金融衍生品，不论其产品的具体结构设计如何变化，其核心都是要构造一个底层资产价格对衍生品价格的映射函数。在这个思路下，主流衍生品可以按照其映射函数的类型分为以下两类：

第一类为线性函数类衍生品，其衍生品的价格会根据现货价格的变动而线性变化，对应的产品就是传统金融中的期货合约，在此不做过多介绍。

而第二类为凸函数类型衍生品。其典型特征为衍生品的价格与现货价格的变动成非线性关系，比如在现货价格上涨时衍生品价格上涨的幅度更大。而在数学上，凸函数也有明确的几何特征，在不追求严谨数学定义的前提下，凸函数可以被简单的理解为一个函数曲线向上或向下弯曲的函数。

下图是随机生成的一条函数图像向下弯曲的凸函数，如果我们使用这个函数构建一个衍生品，其中 x 轴代表现货价格，y 轴代表衍生品的价格。那么这个衍生品的持有者，就会获得一种不对称的风险与收益，当现货价格上涨时，衍生品持有者的收益增长幅度更大，而当现货价格下跌时，衍生品持有者亏损的速度却会更小。

读者可能已经发现，这种风险收益模式就很类似看涨期权的盈亏模型。因此所有期权类衍生品的核心特征，也可以概括为风险与收益的不对称性，这种属性也常被称为凸性（几何描述）或 Gamma 值（代数描述）。

这种由凸函数带来的不对称的风险与收益组合，为投资者提供了一种十分理想的投资组合风险管理工具。因此具有凸性的金融产品（期权类产品），在传统金融市场中一直占据着很大的市场份额，常被专业投资机构用来调整投资组合的风险敞口，或构建更为复杂的衍生产品。

然而美中不足的是，传统的期权类产品受制于买权、卖权交易的具体实现形式，因此总是难以彻底摆脱产品会不断到期以及需要行权的缺点。虽然业内一直在进行相关的探索，尝试构建一种没有到期日的「永续期权」产品，但效果却一直不甚理想。

由 Paradigm 最新论文提出的「乘方永续合约」，便是对这一经典命题的最新回复。它尝试结合已经成功验证过的永续合约产品结构，并通过将其核心函数由线性函数调整为凸函数，试图解决曾经的「永续期权」一直没能真正解决的问题，那就是：构造一个不会到期也不需要行权，同时具有凸性的衍生品类别。

对传统衍生品的重构

我们参照上文的思路，利用永续合约经典的资金费模式，分别对两种映射函数进行产品重构，便会得到两种新的衍生品形式。

从上表中可以看出，所谓乘方永续合约，就是利用了永续合约的资金费机制，构建了与期权风险模式类似的不对称风险敞口的产品。这种结合了资金费机制以及期权类风险敞口的「乘方永续合约」，较传统期权产品具有了以下明显优势：

1. 产品结构更为纯粹，不再有交割期、行权价等额外环节，买卖双方可以单纯交易具有凸性的风险敞口；

2. 从根本上解决了同一交易对的流动性割裂问题，交易效率大大提高；

3. 底层逻辑更简单，方便在计算资源有限的公链上进行产品实现；

4. Unify the bottom functions of convex function class and linear function class derivatives. And you can see from the table above that y = x is actually equal toSpecial form for n=1. Therefore, a derivative protocol can simulate the different risk exposures of futures and options only by relying on the same underlying mapping function formula.

乘方永续合约如何体现期权交易的四种风险敞口

我们知道，传统的期权类产品包含四种不同的风险敞口，他们分别是：买入看涨期权、卖出看涨期权、买入看跌期权和卖出看跌期权。

他们的定价函数图像如下（红色曲线为估值曲线）：

Next we will go through the adjustment中 n 的取值，尝试构造与传统期权函数相似的四种函数图像。

（1）买入看涨期权

当 n>1 时，则函数图像会向下突出。乘方永续合约的多方在现货价格上涨时收益增幅更快，现货价格下跌时亏损速度较慢，可以较好的模拟看涨期权的风险敞口。（本例中取 n=3，以买入价格对应的 y 值作为 y 轴原点）

（2）卖出看涨期权

在上图的函数中，如果交易者不选择做多而是做空，则其盈亏函数则与上图正好相反。也就是按照 x 轴对函数图像进行翻转。

其持有者的收益特征也与卖出看涨期权类似，在价格下跌时收益增幅较慢，而在价格上涨时亏损可以快速增长，对应传统期权类的卖出看涨期权。

（3）买入看跌期权

如何通过乘方永续合约构建看跌期权，似乎在论文中并没有提及。于是我们尝试将 n 取为小于零的负值，便会得到一条现货价格上涨时亏损缓慢增加，而下跌时收益快速增长的函数图像。（下图中 n 取-0.4）

这条曲线的多头持有人的盈亏模型，与传统看跌期权的收益模式非常类似，只是函数曲线与 x 轴不再相交，于是形成了在亏损时收益可以无限增长的特性。

（4）卖出看跌期权

同理，在上图函数中的空方，持有的是原函数对 x 轴的倒影函数。其在价格上涨时收益增速较慢，而在价格下跌时亏损会快速扩大，对应了卖出看跌期权的风险收益模型。

乘方永续合约的定价

文章的最后，我们需要简单讨论一下乘方永续合约的定价问题。

期权之所以需要定价，与其凸函数的性质紧密相关。上文提到，凸函数的持有方获得了一种收益与风险不匹配的风险敞口。于是想要购买潜在收益大于潜在风险头寸的一方，只有向其对手方支付一定的溢价，才能缓解交易的不公平性并使得交易成交。

这种溢价，在传统期权中表现为期权的购买价格。而在乘方永续合约中，则会表现为多方向空方定期支付的资金费。这种由多方定期支付资金费的形式，相当于多方在一定期限内，向空方「租用」了这种不对称的风险敞口。且其租用时间可以自由调整，不再受到传统期权到期日的限制。

At the same time, due to the existence of such premium, the transaction price of the function will be higher than the function image itself, which is also the reason why the function image in this paper has two curves at the same time. The blue line in the figure below is函数图像本身，黄线是考虑溢价之后的理论成交价格，而黄线高于蓝线的部分，就是乘方永续合约的多方向空方支付的风险溢价。